BASIS DAN DIMENSI

BAB I

PENDAHULUAN

 

A. Latar Belakang

Misalkan V ruang vektor dan S={s1, s2, …., sn}. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu:

  1. S bebas linier
  2. S membangun V

Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar.

 

B. Rumusan Masalah

Pada pembahasan ini penulis akan menjelaskan apa yang dimaksud dengan basis dan dimensi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

BASIS DAN DIMENSI

 

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

        i.            S bebas linier;

      ii.            S serentang V.

Contoh 1

Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 +  v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.

Contoh 2

Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.

Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

b = k1v1 + k2v2 + k3v3

dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan

( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )

atau

( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )

atau

k1 + 2k2 + 3k3               = b1

2k1 + 9k2 + 3k3             = b2

k1            + 4k3             = b3                                               (1.1)

Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari

k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0                                                   (1.2)

adalah k1 = k2 = k3 = 0

seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen

k1 + 2k2 + 3k3               = 0

2k1 + 9k2 + 3k3             = 0

k1            + 4k3             = 0                                           (1.3)

hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

 

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

 

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.

Contoh 3

Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni

c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x)                                              (1.4)

Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.

Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.

Contoh 3

Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:

. Cari basis dan dimensi dari ruang V!

Solusi : (Menggunakan matriks)

 

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}

Dimensi V = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB III

PENUTUP

 

A. Kesimpulan

Setiap sistem pembentuk yang bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor. Setiap himpunan u u1, u , u2, …, u , un} yang } p p { {11, 2, , n} y g

bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi n.

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

  1. S bebas linier;
  2. S serentang V.

 

B. Saran

Demikian yang dapat penulis paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman dapat memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan makalah di kesempatan–kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman pada umumnya.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Daftar Pustaka

 

http://downloads.ziddu.com/downloadfiles/6709393/BasisdanDimensi.doc

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=basis%20dan%20dimensi&source=web&cd=1&ved=0CFcQFjAA&url=http%3A%2F%2Fmastyas.files.wordpress.com%2F2009%2F03%2Fa4_basisdimensi-compatibility-mode1.pdf&ei=TnWlT87jOuSimQW7o7DhBA&usg=AFQjCNG4BYSoy1gXCdG–KYwqf0hzyvBJA&cad=rja

http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=contoh%20basis%20dan%20dimensi&source=web&cd=2&ved=0CE4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.tofi.or.id%2Fdownload_file%2FRuang%2520Vektor.ppt&ei=aRXBT9XXL87jrAff_p3PCQ&usg=AFQjCNH7JdLoU1JAaiocqDPJ4Gb7aC16NQ&cad=rja

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s